Tak już się przyjęło, że liczby stanowią nieodłączną część naszego życia. Wyznaczają nasz wzrost, wagę, numer konta bankowego, jak również wartość obecnych na nim środków. Stanowią nieodłączną część naszych adresów i większości dokumentów. Warunkują wszelkie listy, spisy, katalogi, skale i podziały. Krótko mówiąc, wydają się kompleksową częścią naszej rzeczywistości. Istnieją jednak takie z nich, które – w sposób szczególny – wyrażają piękno i harmonię. A odnaleźć je możemy tam, gdzie istnienie owego piękna i harmonii wydaje się najbardziej oczywiste – w naturze.

Właśnie ona od zawsze zdaje się posiadać klucz do idealnej kreacji. Tworzy bowiem z niesamowitym rozmachem i precyzją, jednak z równoczesną lekkością i swobodą. Nie wiadomo skąd, ale jakoś wie, jak przy użyciu minimum energii uzyskać maksimum efektu. Jest w tym niedościgniona. My natomiast, możemy jedynie – w sposób mniej lub bardziej skuteczny – podpatrywać jej mechanizmy i przenosić je na grunt praktyczny.

Ciąg Fibonacciego – matematyczne odwzorowanie świata natury

W XII wieku Leonardo Fibonacci eksperymentował w próbach przewidywania populacji królików. Doprowadziło go to do odkrycia serii liczb, które – od jego nazwiska – określono mianem ciągu Fibonacciego.

Jest to ciąg rosnący, słynny nie tylko dlatego, że każdy kolejny wyraz (poza dwoma pierwszymi) równa się sumie dwóch poprzednich, ale również dlatego, że ilorazy wyrazów sąsiadujących, mają tę zadziwiającą cechę, że są zbliżone do liczby 1,618 – czyli liczby Fi (Φ).

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, … , bo 1, 1, (1+1)=2, (2+1)=3, (3+2)=5, (5+3)=8, …

Zatem każda liczba ciągu Fibonacciego podzielona przez liczbę następną daje wynik zbliżony do 0,618, natomiast dzieląc ją przez liczbę poprzednią otrzyma się 1.618. Im większe liczby ciągu, tym ta zależność jest dokładniejsza.

Tendencję ciągu do coraz dokładniejszego zbliżania się do proporcji „Fi” uwidacznia prosty zabieg dzielenia bieżącej liczby przez poprzednią, i tak 1:1=1, 2:1=2, 3:2=1,5, 5:3=1,6666, 8:5=1,6, 13:8=1,625, 21:13=1,615384, 34:21=1,619048. Wynik zawsze oscyluje powyżej i poniżej wartości „Fi”, ale nigdy tam nie dociera. Kontynuuje jednak dalej zbliżając się coraz bardziej, aż do miejsca, w którym trudno wykazać różnicę. „Fi” jest liczbą nieskończoną, stąd ciąg też taki jest. Z uwagi na fakt, że nie ma początku ani końca, utożsamia się go z naszym dążeniem do doskonałości.

Złoty podział

Już greccy geometrzy – przy użyciu cyrkla i linijki – potrafili podzielić każdy odcinek na dwie części tak, że stosunek długości odcinka dłuższego do krótszego, równał się stosunkowi długości całego odcinka do części dłuższej.

Podział ten nazwano złotym, proporcjonalny stosunek określono jako boską proporcję, zaś wyrażającą go liczbę Fi (gr. Φ; ang. Phi) nazwano złotą. Innymi słowy, cały odcinek jest około 1,618034 razy dłuższy od jego dłuższej części, a ta właśnie dłuższa część jest około 1,618034 razy dłuższa od części krótszej.

Współcześnie, wielu designerów celowo używa złotego podziału do projektowania opakowań, szyb wystawowych, logo firm, czy reklam.

Liczba (Φ) – cegiełka tworzenia

To liczba, która – z uwagi na fakt, że wyraża proporcje złotego podziału – nazywana jest złotą. Oznacza się ją grecką literą Φ (Fi). Opiera się na prostej proporcji, która w przybliżeniu daję wartość 1,618. Znana jest również jako złoty podział lub złoty środek.

Powszechne jest przekonanie, że „Fi” jest matematycznym źródłem wszystkich innych ciągów. Otóż, każdy z nich potrzebuje co najmniej trzech liczb, by go wyliczyć. „Fi” potrzebuje tylko dwóch, co dodatkowo podkreśla jej wyjątkowość.

Wszechobecność Fi w przyrodzie, bezsprzecznie wychodzi poza ramy przypadku. Określa zależności w całym wszechświecie, poczynając od kształtu galaktyk, a kończąc na muszli ślimaka Nautilus. Z uwagi na jej rolę, jako fundamentalnej jednostki, którą posługuje się natura – uznano ją za najpiękniejszą liczbę we wszechświecie. Pierwsi naukowcy głosili, że jest to boska proporcja. Złota liczba wyznacza złoty podział, nazywany również podziałem harmonicznym, boską proporcją lub złotym cięciem.

Jako ciekawostkę, warto nadmienić, że aby ją podnieść do kwadratu, wystarczy dodać do niej jedynkę, natomiast aby znaleźć jej odwrotność, wystarczy ją odjąć.

Złoty prostokąt

Już starożytni Grecy odkryli, że istnieje prostokąt, którego proporcje wydają się idealne i nazwali go złotym prostokątem. To taki, w którym stosunek dłuższego boku do krótszego odpowiada sumie dwóch krótszych boków do dłuższego. Oznacza to, że iloraz długości boku dłuższego do krótszego, jest równy złotej liczbie (Φ).

Złoty prostokąt – jako jedyny – ma taką właściwość, że – przy pomocy kwadratów – można podzielić go na mniejsze prostokąty. Przy czym, niezależnie od tego, jak wiele takich prostokątów narysujemy, będą one posiadały tę samą proporcję, co prostokąt wyjściowy. Podziału takiego możemy dokonywać w nieskończoność. Oczywiście przeprowadzając go na kartce papieru, dojdziemy w końcu do takiego momentu, w którym – ze względu na małe rozmiary otrzymanego prostokąta – nie będziemy w stanie dokonać jego dalszego podziału. Jednakże, program komputerowy nie stawia już takich barier. W takim przypadku, dochodząc do punktu, w którym ograniczyła nas kartka papieru, możemy nasz malutki prostokąt powiększyć i ciągnąć naszą zabawę dalej, w nieskończoność…

Warto nadmienić, że gdy zmienimy nieco proporcje boków naszego wyjściowego prostokąta, wówczas kolejno rysowane prostokąty szybko ulegną zniekształceniu, a cały rysunek niebawem pogrąży się w chaosie. Utracimy złotą harmonię, co jasno uzmysłowi nam, dlaczego złotą proporcję nazywa się harmoniczną.

Technikę wydzielania złotych prostokątów, używano do projektowania rysunku na podłodze oraz fasadach świątyń. Według tego wzoru powstał, na przykład, słynny Partenon na Akropolu w Atenach.

Na przestrzeni dziejów wielu odkryło, że tworzenie na bazie tej figury, nadawało witalność i ruch. W kontraście do symetrii statycznej dynamikę tę nazwano symetrią dynamiczną. Implikuję ona wzrost i moc. Nadaję animację.

Złota spirala

Złota spirala powstała na bazie serii zmniejszających się złotych prostokątów. Aby taką uzyskać, należy narysować zestaw złotych prostokątów jeden w drugim, coraz mniejsze. Uzyskamy w ten sposób także serię zmniejszających się stopniowo kwadratów. Teraz wystarczy narysować w każdym z nich łuk (wycinek koła), przy czym boki kwadratów muszą wyznaczać promień łuków. Powstała krzywa bardzo bliska jest złotej spirali. W dowolnym punkcie stosunek długości łuku do jego przekątnej wynosi oczywiście 1.618. Natomiast relacja długości przekątnej do dłuższego promienia jest taka sama, jak długości dłuższego promienia do krótszego i wynosi 1.618. Warto nadmienić, że spirala ta posiada taką matematyczną właściwość, że – jako jedyna – w procesie wzrostu, nie zmienia swojego kształtu.

Wszelkiego rodzaju spirale w naturze – w swoim dążeniu do coraz bliższego przybliżenia do liczby „Fi” – wykazują wierne odzwierciedlenie ciągu Fibonacciego. Spirale są wszechobecne. Zaobserwować je można zarówno w skali mikro jak i makrokosmosu.

Pentagram

Najciekawszym przykładem podziału harmonicznego jest gwiazda pięcioramienna, która wpisana w okrąg, tworzy pentagram. Symbol ten został już obszernie opisany na łamach AD, w artykule „Tajemnica pentaklu”).

Okazuje się, że chaos otaczającego nas świata ma swój wewnętrzny porządek. Kiedy starożytni odkryli „Fi”, byli pewni, że natknęli się na element budulcowy, którym posługiwał się sam Bóg, konstruując świat. I właśnie dlatego z takim zapałem i oddaniem czcili Matkę Naturę. Podobnie zresztą czynili nasi Słowiańscy Przodkowie, którzy wszystko podporządkowali cyklom natury. Kult ich wiary – jako pogański – został jednak zdegradowany do roli zmurszałych guseł i zabobonów. Czy słusznie?

Część II artykułu przeczytasz TUTAJ.

***

Ewa Kurzelewska

fot. www.pixabay.com