Chociaż ciąg Fibonacciego pozostaje w bliskim powiązaniu z fraktalami i złotym podziałem, to ten ostatni znany był znacznie wcześniej. Spopularyzował go Pitagoras. Jednak najstarsza wzmianka o „Φ” jako o „świętej proporcji” sięga roku 1650 p.n.e., kiedy to spisano w Egipcie papirus Rhinda, opisujący konstrukcję Wielkiej Piramidy w Gizie.

Część I artykułu przeczytasz TUTAJ.

Ciąg Fibonacciego powstał w efekcie podpatrywania przyrody. Stanowi zatem jej matematyczne odwzorowanie. Co prawda sam wynalazca, nie do końca zdawał sobie sprawę z zasięgu swojego odkrycia. Musiało minąć kolejnych kilkaset lat, aby ludzie odkryli, jak powszechne jest jego występowanie w całym otaczającym nas świecie. Jak się okazuje, większość dokonanych przez człowieka odkryć zdaje się bazować na pierwowzorze, którym jest natura. Dlatego też nie dziwi, że jest ona również prototypem złotego podziału.

Złota spirala

Nazywana też logarytmiczną lub równokątną. Powtarza się w różnych skalach i sytuacjach. Można dostrzec ją w sposobie wzrostu wielu pospolitych żyjątek morskich, od planktonowych pierwotniaków do ślimaków i przepięknego łodzika. Przypomina ją większość rogów, pazurów, kłów, dziobów i szponów różnych form życia. Widoczny jest chociażby w wygięciu kłów słonia, rogów dzikiej owcy i pazurków kanarka. Promieniście od słońca rozchodzą się planety naszego układu słonecznego. W rytmie złotej spirali rozwijają się galaktyki. Jej kształt przybierają spiralne ramiona Drogi Mlecznej. Każde z nich tworzy spiralę logarytmiczną o kącie 12 stopni. Rozpoznać ją możemy również w ogonach komet i w sieciach niektórych pająków. Pewne jej elementy odnajdziemy w układzie nasion w owocach wielu gatunków roślin, łusek ananasa i szyszkach sosny. Tworzą ją dolne powierzchnie fal oceanu, co zresztą znajduje praktyczne zastosowanie w procesie projektowania kotwic. Jej formę przybiera również trasa lotu, po której owad zbliża się do źródła światła.

Ciąg Fibonacciego

Zanim przejdziemy do opisu jego występowania w przyrodzie, warto nadmienić, że ciąg ten pojawił się również w pracy Keplera (rok 1611). Opierała się ona na tzw. filotaksji – czyli uporządkowanego położenia liści na łodydze.

Jak się okazuje, zjawisko zwane spiralną filotaksją cechuje bardzo wiele gatunków drzew i roślin. W przypadku drzew chodzi tutaj o strukturę gałęzi układających się spiralnie wokół pnia. W świecie roślin natomiast to zjawisko dotyczy liści.

Ciąg Fibonacciego odnajdziemy już w układzie liści na gałązce. Między każdymi dwiema parami listków trzeci leży w miejscu złotego cięcia. U wielu drzew, zależnie od gatunku, co drugi, co trzeci, co piąty, co ósmy lub co trzynasty liść wyrasta w tym samym kierunku. Gdyby natomiast ponumerować gałęzie zgodnie z wysokością, na jakiej wyrosły, okaże się, że liczba gałęzi sąsiadujących pionowo jest liczbą Fibonacciego. Zdumiewające jednak jest to, że liczba gałęzi pomiędzy gałęziami sąsiadującymi pionowo również nią jest.

Ciąg ten powszechny jest w budowie kwiatów. Jak się okazuje, na bardzo wielu z nich występuje stała liczba płatków: 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, a nawet – jak u przypołudnika – 377. Lilie i irysy mają 3 płatki, jaskry 5, wiele ostróżek 8, nagietki 13, astry 21, a stokrotki 34, 55 lub 89. Bardzo dobrym przykład spiralnej filotaksji stanowi swojski słonecznik. Układ nasion na jego owocostanie bardzo często odpowiada następującemu wzorowi: 89 spiral odchodzących ciasno w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara, 55 – przeciwnie do kierunku ruchu wskazówek zegara i wreszcie 34 znacznie mniej ciasno, zgodnie z zegarem. Powyższe liczby stoją obok siebie w ciągu Fibonacciego. Największy znany słonecznik miał spirale dające się odpowiednio opisać wzorem: 144/89/55.

Łuski szyszki sosny układają się w dwie serie spiral – jedna zgodnie z ruchem wskazówek zegara, druga przeciwnie. Po przebadaniu ponad 4000 szyszek dziesięciu gatunków sosny, okazało się, że ponad 98 procent posiadało ilość spiral w obu kierunkach zgodną z liczbą Fibonacciego. Co więcej, liczby te w ciągu leżały obok siebie lub bardzo blisko. Jeszcze mniejszą zmienność w zjawiskach Fibonacciego wykazują łuski owocostanu ananasa: z 2000 prób typowych ananasów żaden nie stanowił wyjątku od tej reguły.

Złotych proporcji możemy się również dopatrzeć w populacji pszczół. Pszczół płci żeńskiej jest zawsze więcej niż pszczół płci męskiej. Okazuje się, że jeżeli podzielimy liczbę pszczół płci żeńskiej przez liczbę pszczół płci męskiej jakiegokolwiek ula na świecie, zawsze otrzymamy ten sam wynik – Φ. Wygląda na to, że ciąg Fibonacciego określa prawo, które stanowi podstawę emanacji wszelkiej energii w naturze.

Warto również nadmienić, że nie wszystkie gatunki roślin działają zgodnie z ciągiem Fibonacciego i zasadą spiralnej filotaksji. Niektóre na przykład funkcjonują w oparciu o ciąg Lucasa, tworzony dokładnie tak jak Fibonacciego, tyle tylko, że pierwszymi wyrazami ciągu są liczby 2 i 1 (następnie 3,4,7,11…).

Perfekcja wpisana w efektywność

Okazuje się, że reguła spiralnej filotaksji jest uniwersalna i niezależna od wielkości rośliny. Jednak – co ważniejsze – umożliwia nie tylko maksymalne wykorzystanie posiadanego miejsca, ale również efektywne czerpanie z energii słońca. Dodatkowo zapewnia zebranie możliwie największej ilości deszczu, który – spływając po liściach do pnia i korzenia – kompleksowo nawadnia zarówno roślinę, jak i jej podłoże. Co prawda, poszczególne odmiany roślin różnią się współczynnikiem filotaksji, ale niezmiennie występuje w nim liczba Fibonacciego.

Zatem za najbardziej zdumiewający należy uznać fakt, że natura, chociaż doskonała w swej precyzji, efekt ten uzyskuje przy użyciu możliwie najbardziej efektywnego przepływu energii. Tworzy w sposób, który maksymalizuje wyeksponowanie zarówno na światło słoneczne, jak również na powietrze i deszcz. Bez zbędnego zacieśniania, czy zatłaczania kolejnych elementów roślin.

Tworzy kształty i proporcje, które maksymalizują efektywność przepływu energii. Świat minerałów, ale również kształt pszczelich plastrów miodu, baniek mydlanych, protein i wirusów, różne przejawy fauny i flory, podlegają tym samym prawom minimalizacji zużycia energii i maksymalizacji efektu. Jakkolwiek przyroda nie robiłaby wrażenia przypadkowej, to taką zdecydowanie nie jest.

Część III artykułu przeczytasz TUTAJ.

Ewa Kurzelewska